波函数与薛定谔方程

这一课直接引入波函数和薛定谔方程这两项在量子力学中可能是最重要的东西，量子力学在很多方面是反直觉的，不要使用常规的思路去思考量子现象

个人觉得在量子力学学习过程中越早引入薛定谔方程越好，所以第二课就安排了薛定谔方程。

波函数

薛定谔方程是一个波动力学方程，这一体系的量子力学建立在波动的基础上。所以在引入薛定谔方程之前要先理解波函数。

波函数的由来

波函数是一种描述微观尺度下物质行为的函数。最初来源于电子的双缝干涉实验，它揭示了粒子的波动性，为了解释这一概念，科学家引入了机械波的概念来描述粒子的波动性。但是由于微观粒子不会若隐若现，也不能偏好于某一个位置，所以实际上粒子运动是不符合这个函数的。于是玻恩提出了概率波的概念，他认为波函数描述的是粒子位置的可能性，而不是描述粒子的运动轨迹。（有趣的是，薛定谔在导出薛定谔方程的时候认为波函数是经典意义上的物质波）

波函数的意义

在经典力学中，位移和时间被用来描述一个物体的状态。只要知道这个位移关于时间的函数，我们就能够求出速度、加速度，进而得出动量、动能等所需的一切。而在量子力学中，波函数被用来描述物体状态。波函数是一个复函数，也就是说可以写成这样的形式。当然引入虚数是为了方便，这是数学上的技巧而不是物理上的。虚数在物理上没有实际的意义，所以波函数模的平方才具有实际的物理意义。是一个概率密度函数。

上面说的两个概念，通过一个例子应该可以更好地理解。

电子双缝干涉实验证明了电子的波粒二象性，用来解释上述概念比较合适。和光的双缝干涉实验中一束光通过双缝在光屏上形成明暗相间的条纹一样，一束电子通过双缝也能在屏上显示出明暗相间的条纹（可以简单理解成明纹处电子多，暗纹处电子少）。但是神奇的现象发生了，设备精度提高到能够一次发射一个电子，发射一个电子并且保证在它到达屏以后再发射下一个电子，如此不断地一个一个向双缝发射电子，最终依然在屏上出现了明暗相间的条纹。唯一能够解释这一现象的，就是电子具有波动性，一个电子就可以被看作一束波（德布罗意物质波方程），我个人的理解是当这一束波通过双缝的时候产生了干涉，最终很多束波叠加，在屏上形成了明暗相间的条纹。

而当我们进行观测的时候，波函数坍缩。我们想要观测电子到底从哪一个缝经过的时候，由于观测了电子的粒子性，所以波动性就无法观测了，电子无法在无法在屏上显示明暗相间的条纹，而是显示出两条亮纹。这个时候电子出现在观测的缝处的概率就可以通过波函数模的平方来计算。

也就是说，波函数很好的符合了波粒二象性。波动性和粒子性不能够同时被观测到。

量子力学中“波”的概念有点反常识，不能简单地用经典力学中的波来类比量子力学中的波，尽管波动性很多情况下展现的结果和经典意义上的波一致。

而波函数模的平方，作为一个概率密度函数，只需要在某一个需要观测的范围内对其积分，就可以得到粒子出现在这一范围的概率，学过概率论的同学肯定都明白。这里对于计算出来的概率又可以提一下，计算得到的概率并不是0或者1，也就是你不能确定粒子是否一定会出现在这一范围或者一定不出现在这一范围。物理学家们曾经对这一特性产生过怀疑，认为在这背后有一个什么隐藏的东西影响着概率。直到贝尔不等式被证明成立，这个隐变量被证明不存在，物理学家们才明白我们已经掌握了所有已知的条件，粒子就是不能被严格计算出是否出现的。通过计算获得的概率具有一个统计学上的意义。在某范围内积分得到的概率是0.3，那么我们做1000次同样的试验，就会有300次左右的实验在这个范围内观测到了粒子，这个就是粒子出现概率的统计学意义，理论上讲试验次数越多，得到的结果就越接近算得的概率。

薛定谔方程

薛定谔自己也不是很清楚薛定谔方程的意义，因为他也是依靠一些其他的关系式，在已有的波动方程的基础上硬凑构造出来的，所以我们也直接构造一遍薛定谔方程好了。
这里需要先给出几个公式

德布罗意物质波公式

其中，是动能，是角频率，是动量，是波矢。

以及经典力学的动能方程：

我们将动能乘上2m

得到关系式

然后，我们引入德布罗意物质波公式，来替换式子中的动量和动能，所以就得到了下面这个式子（式1）：

下面我给出一个经典电动力学中的波动方程：

其中

把u代入后求偏导计算并化简（过程我就略过了），可以得到

也就是说在经典电动力学中，和是成正比的。

但是在量子力学中就不一样了，现在回过去看式1，很显然在这里是和成正比的。等式的右边比经典电动力学多了一个平方。

那如何解决这个问题呢？

做一个投机的办法，电动力学方程左边的二次偏导求出一个平方数，那么少一次偏导，求出来的不就没有平方了吗？
于是得到：

但是当求完导以后，我们就会发现一个问题：等式左边求导是sin，右边是cos，没有办法消除。也就是说实函数已经不能解决这个问题了。那么在这里做一个数学上的技巧，就是引入复数，把波动方程u写成复函数的形式：

这个复函数的形式，一次导和二次导会出现一样的部分，我们就可以在计算时将它们约掉。

我们用新的式子重新计算一遍，求导得

将两边相同量消去，就得到了如下这个式子：

这个形式是不是很熟悉？让我们往等号两边再加点东西：

整理化简，就得到了式1

也就是说，在刚刚少算了一次偏导的电动力学波动方程左右两边乘上这两个东西，这个式子就符合了德布罗意物质波公式引出的动能和动量关系，也就是符合了量子力学的体系。
所以我们把这两个东西直接放在那个方程里，于是得到

实际上呢，粒子是在势场中运动的，会受到外力作用，所以我们在方程中再加入一个量，得到方程：

再把方程中表示平面波的函数换成量子力学的波函数

这样，我们就得到了一维的薛定谔方程。其中，V是一个关于x和t的实值函数，如果V是复函数的话，计算出来的粒子会发生产生或者消失的滑稽情况。薛定谔方程是一个线性的偏微分方程，所以两个满足薛定谔方程的波在线性叠加后依然满足薛定谔方程。